Exercice 18, § 4

a) Montrer qu’un espace compact et connexe $X$ ne peut être réunion d’une infinité dénombrable d’ensembles fermés non vides deux à deux disjoints. (Raisonner par l’absurde: si $(F_n)$ est une partition infinie dénombrable de $X$ formée d’ensembles fermés, montrer, à l’aide de l’exerc. 17, qu’il existe un ensemble compact connexe $K$ ne rencontrant par $F_1$, mais rencontrant une infinité des $F_n$; on considérera pour cela la composante connexe d’un point de $F_2$ par rapport à un voisinage compact de $F_2$ ne rencontrant par $F_1$. Raisonner ensuite par récurrence.) b) Étendre le résultat de a) au cas d’un espace localement compact connexe $X$, lorsqu’on fait une des deux hypothèses supplémentaires suivantes: un des $F_n$ est compact et connexe, ou $X$ est localement connexe. (Dans le premier cas, se ramener à a) à l’aide de l’exerc. 17.) c) Dans l’espace $\mathbf{R}^3$, soit $X$ le sous-espace réunion des sous-espaces suivants: $A_n$ est la demi-droite $x > 0,\ y = 1/n,\ z = 0\ (n \geqslant 1)$; $B_n$ l’intervalle $2n < x < 2n + 2,\ y = 0,\ z = 0\ (n \geqslant 0)$; $C_n$ l’ensemble défini par les relations

Montrer que $X$ est localement compact, connexe et réunion d’une famille dénombrable de sous-espaces fermés connexes et deux à deux disjoints.