Bài tập 26, § 4

a) Cho $X, Y$ là hai không gian địa phương compact, $f$ là một ánh xạ liên tục từ $X$ vào $Y$; giả sử rằng đối với một điểm $y \in Y$, một thành phần liên thông $C$ của $f^{-1}(y)$ là compact. Bây giờ chứng minh rằng với mọi lân cận mở $V$ của $y$ trong $Y$, tồn tại một lân cận mở tương đối compact $V_1 \subset V$ của $y$, và một lân cận mở tương đối compact $U$ của $C$ trong $X$, được chứa trong $f^{-1}(V_1)$, sao cho ánh xạ $f_1 : U \to V_1$ trùng với $f$ trên $U$, là thực sự. (Dùng hệ quả của II, p. 32, bây giờ chứng minh rằng tồn tại một lân cận mở tương đối compact $W$ của $C$ được chứa trong $f^{-1}(V)$ và sao cho biên $S$ của $W$ trong $X$ không gặp $f^{-1}(y)$; lấy $U$ (tương ứng $V_1$) là tập hợp các điểm của $W$ không thuộc $f^{-1}(f(S))$ (tương ứng là tập hợp các điểm của $V$ không thuộc $f(S)$).

b) Cho $X, Y$ là hai không gian địa phương compact, $f$ là một ánh xạ liên tục từ $X$ vào $Y$, sao cho các thành phần liên thông của mọi tập hợp $f^{-1}(y)$, trong đó $y$ chạy trên $Y$, đều compact. Gọi $R$ là quan hệ tương đương trong $X$ mà các lớp tương đương của nó là các thành phần liên thông này. Bây giờ chứng minh rằng ánh xạ chính tắc $X \to X/R$ là thực sự (dùng $a$), và Mệnh đề 9 của I, p. 78).