Exercice 26, § 4

a) Soient $X, Y$ deux espaces localement compacts, $f$ une application continue de $X$ dans $Y$; on suppose que pour un point $y \in Y$, une composante connexe $C$ de $f^{-1}(y)$ est compacte. Montrer que pour tout voisinage ouvert $V$ de $y$ dans $Y$, il existe un voisinage ouvert relativement compact $V_1 \subset V$ de $y$, et un voisinage ouvert relativement compact $U$ de $C$ dans $X$, contenu dans $f^{-1}(V_1)$, tels que l’application $f_1 : U \to V_1$ qui coïncide avec $f$ dans $U$, soit propre. (En utilisant le corollaire de II, p. 32, montrer qu’il existe un voisinage ouvert relativement compact $W$ de $C$ contenu dans $f^{-1}(V)$ et tel que la frontière $S$ de $W$ dans $X$ ne rencontre pas $f^{-1}(y)$; prendre pour $U$ (resp. $V_1$) l’ensemble des points de $W$ n’appartenant pas à $f^{-1}(f(S))$ (resp. l’ensemble des points de $V$ n’appartenant pas à $f(S)$).

b) Soient $X, Y$ deux espaces localement compacts, $f$ une application continue de $X$ dans $Y$, telle que les composantes connexes de tous les ensembles $f^{-1}(y)$, où $y$ parcourt $Y$, soient compactes. Soit $R$ la relation d’équivalence dans $X$ dont les classes d’équivalence sont ces composantes connexes. Montrer que l’application canonique $X \to X/R$ est propre (utiliser $a$), et la prop. 9 de I, p. 78).