Bài tập 9, § 4

Cho X là một không gian compact địa phương mang một cấu trúc đều tương thích với tôpô của nó và sao cho tồn tại một lân cận đều V có tính chất rằng V(x) là tương đối compact trong X với mọi x ∈ X. a) Chứng minh rằng X là đầy đủ đối với cấu trúc đều này. b) Cho U là một lân cận đều đối xứng của X sao cho $\hat{U} \subset V$. Chứng minh rằng nếu A là tương đối compact trong X, thì U(A) cũng vậy. c) Chứng minh rằng X là paracompact [dùng b), Bài tập 7 và Chương I, § 9, no. 10, Định lý 5]. d) Cho W là một lân cận đều đóng đối xứng của X sao cho $\hat{W} \subset V$. Chứng minh rằng nếu A là đóng trong X thì W(A) cũng là đóng (dùng Bài tập 8).