Exercice 9, § 4

Soit $X$ un espace localement compact, muni d’une structure uniforme compatible avec la topologie de $X$, et telle qu’il existe un entourage $V$ pour lequel $V(x)$ soit relativement compact dans $X$ quel que soit $x \in X$. a) Montrer que $X$ est complet pour la structure uniforme considérée. b) Soit $U$ un entourage symétrique de $X$ tel que $\overset{2}{U} \subset V$; montrer que si $A$ est relativement compact dans $X$, $U(A)$ est relativement compact dans $X$. c) Montrer que $X$ est paracompact (utiliser $b$), l’exerc. 7, et le th. 5 de I, p. 70). d) Soit $W$ un entourage symétrique fermé de $X$ tel que $\overset{2}{W} \subset V$; montrer que pour tout ensemble $A$ fermé dans $X$, $W(A)$ est fermé dans $X$ (utiliser l’exerc. 8).