Bài tập 11, § 2

a) Cho $X$ là một tập hợp có thứ tự tuyến tính với tôpô $\mathfrak{T}_0(X)$. Nếu $X$ liên thông và có một tập con trù mật đếm được $A$, hãy chứng minh rằng tồn tại một phép đồng phôi (đơn điệu nghiêm ngặt theo Bài tập 8) của $X$ lên một trong các khoảng của $R$ có hai đầu mút 0, 1, phép đồng phôi này biến $A$ thành giao của $Q$ với khoảng này (dùng các Bài tập 9 và 7).

b) Suy ra từ a) rằng nếu $B$ là một tập con của $R$ mà phần bù của nó trù mật trong $R$, thì tồn tại một phép đồng phôi của $R$ lên chính nó biến $B$ thành một tập con của tập hợp $CQ$ các số vô tỉ (xét một tập con trù mật đếm được $A$ của $R$ được chứa trong $CB$).

c) Trong tập hợp $R \times \{0, 1\}$, có thứ tự tuyến tính bởi thứ tự từ điển, gọi $R'$ là phần bù của $Q \times \{1\}$. Chứng minh rằng $R'$, được trang bị tôpô $\mathfrak{T}_0(R')$, là compact địa phương và hoàn toàn không liên thông, và chứa một tập con trù mật đếm được $Q'$ đồng phôi với $Q$, nhưng tôpô cảm sinh trên một khoảng mở không rỗng của $R'$ không có cơ sở đếm được; đặc biệt một khoảng như vậy không thể đồng phôi với bất kỳ tập con nào của $R$.