Exercice 11, § 2

a) Soit E un ensemble totalement ordonné, muni de la topologie $\mathscr{T}_0(E)$ (I, p. 91, exerc. 5). Si E est connexe et s’il existe une partie dénombrable partout dense A de E, montrer qu’il existe un homéomorphisme (strictement monotone en vertu de l’exerc. 8) de E sur un des intervalles de $\mathbf{R}$ d’extrémités 0 et 1, qui applique A sur l’intersection de $\mathbf{Q}$ et de cet intervalle (utiliser les exerc. 9 et 7).

b) Déduire de a) que si B est une partie de $\mathbf{R}$ dont le complémentaire est partout dense, il existe un homéomorphisme de $\mathbf{R}$ sur lui-même, appliquant B sur une partie de l’ensemble $\mathbf{C} \mathbf{Q}$ des nombres irrationnels (considérer une partie dénombrable partout dense A de $\mathbf{R}$ contenue dans $\mathbf{C} \mathbf{B}$).

c) Dans l’ensemble $\mathbf{R} \times \{0, 1\}$, totalement ordonné par l’ordre lexicographique, on désigne par $\mathbf{R}'$ le complémentaire de $\mathbf{Q} \times \{1\}$. Montrer que $\mathbf{R}'$, muni de $\mathscr{T}_0(\mathbf{R}')$, est localement compact, totalement discontinu, contient un ensemble dénombrable dense $\mathbf{Q}'$ homéomorphe à $\mathbf{Q}$, mais que la topologie induite sur un intervalle ouvert non vide de $\mathbf{R}'$ n’admet pas de base dénombrable; en particulier un tel intervalle ne peut être homéomorphe à une partie de $\mathbf{R}$.