Bài tập 12, § 2

a) Cho $A$ là một tập hợp được sắp thứ tự tốt và cho $I$ kí hiệu khoảng [0, 1[ của $R$. Hãy chứng minh rằng tập hợp $X = A \times I$, được sắp thứ tự tuyến tính bởi thứ tự từ điển và được trang bị tôpô $\mathfrak{T}_0(X)$, là liên thông (Bài tập 7); do đó tồn tại các tập hợp có thứ tự tuyến tính $X$ là

b) Lấy $A$ là một tập hợp được sắp thứ tự tốt không đếm được trong đó mọi đoạn ]$\leftarrow, t$ đều đếm được : không gian tôpô tương ứng $X$ được gọi là nửa đường thẳng Alexandroff. Hãy chứng minh rằng với mọi khoảng $[a, b]$ của $X$ ($a < b$) tồn tại một đồng phôi tăng ngặt từ $[a, b]$ lên khoảng $[0, 1]$ của $\mathbf{R}$. (Hãy chứng minh bằng quy nạp siêu hạn rằng tồn tại một đồng phôi tăng ngặt từ $A \cap [a, b]$, $A$ được đồng nhất với tập hợp các điểm $(t, 0)$ của $X$ lên một không gian con của $[0, 1]$.)