Exercice 12, § 2

a) Soient $A$ un ensemble bien ordonné, $I$ l’intervalle $(0, 1[$ de $\mathbf{R}$; montrer que l’ensemble $E = A \times I$, totalement ordonné par l’ordre lexicographique et muni de la topologie $\mathscr{T}_0(E)$, est connexe (exerc. 7); il y a donc des ensembles totalement ordonnés $E$ connexes pour $\mathscr{T}_0(E)$ et ayant un cardinal arbitraire (cf. IV, p. 52, exerc. 7 b)).

b) On prend pour $A$ un ensemble bien ordonné non dénombrable dont tout segment $]-, t]$ soit dénombrable; l’espace topologique $E$ correspondant est alors appelé demi-droite d’Alexandroff. Montrer que pour tout intervalle $(a, b)$ de $E$ il existe un homéomorphisme strictement croissant de $(a, b)$ sur l’intervalle $(0, 1)$ de $\mathbf{R}$. (On prouvera par récurrence transfinie qu’il existe un homéomorphisme strictement croissant de $A \cap (a, b)$ (A étant identifié à l’ensemble des points $(t, 0)$ de $E$) sur un sous-espace de $(0, 1)$).