Bài tập 15, § 2

a) Cho $X$ là một không gian Hausdorff liên thông sao cho, với mỗi $x \in X$, $C\{x\}$ có đúng hai thành phần. Chứng minh rằng, nếu $K$ là một trong hai thành phần này, $K = K \cup \{x\}$ [Chương I, § 11, Bài tập 4 a)]. Cho $x, y$ là hai điểm phân biệt của $X$, cho $A$ và $B$ là các thành phần của $C\{x\}$ và cho $A', B'$ là các thành phần của $C\{y\}$. Chứng minh rằng một trong hai tập hợp $A, B$ được chứa trong $A'$ hoặc trong $B'$.

b) Cho $x_0$ là một điểm của $X$ và cho $A(x_0), B(x_0)$ là các thành phần của $C\{x_0\}$. Với mỗi $x \neq x_0$ có đúng một trong hai thành phần của $C\{x\}$ hoặc được chứa trong $A(x_0)$ hoặc chứa $A(x_0)$; ký hiệu thành phần này là $A(x)$. Chứng minh rằng quan hệ $A(x) \subset A(y)$ là một quan hệ thứ tự tuyến tính tương thích (Bài tập 14) với tôpô của $X$.

c) Mở rộng kết luận của b) đến trường hợp $C\{x\}$ có hai thành phần với mọi $x \in X$ ngoại trừ một điểm $a \in X$, mà với điểm này $C\{a\}$ liên thông.

*d) Cho $X$ là không gian con của $\mathbf{R}^2$ gồm các điểm $a = (0, 1)$, $b = (0, -1)$ và mọi cặp $(x, y)$ sao cho $x \neq 0$ và $y = \sin(1/x)$. Chứng minh rằng $X$ là liên thông trong tôpô $\mathfrak{T}$ cảm sinh trên $X$ bởi tôpô của $\mathbf{R}^2$, rằng $C\{a\}$ và $C\{b\}$ là liên thông và rằng, với mỗi điểm $x$ của $X$ khác $a$ và $b$, $C\{x\}$ có đúng hai thành phần; nhưng rằng không tồn tại một thứ tự tuyến tính nào trên $X$ tương thích với tôpô $\mathfrak{T}$ *.