Exercice 15, § 2

a) Soit $E$ un espace séparé connexe tel que, pour tout $x \in E$, $\mathfrak{G}\{x\}$ ait exactement deux composantes connexes; pour chacune de ses composantes connexes $K$, on a alors $\overline{K} = K \cup \{x\}$ (I, p. 114, exerc. 4 a)). Soient $x, y$ deux points distincts de E, A, B les composantes connexes de $C\{x\}$, A', B' celles de $C\{y\}$. Montrer que l’un des deux ensembles A, B est contenu dans A' ou dans B'.

b) Soit $x_0$ un point de E et soient $A(x_0)$, $B(x_0)$ les composantes connexes de $C\{x_0\}$. Pour tout $x \neq x_0$, il y a une seule des deux composantes connexes de $C\{x\}$ qui est contenue dans $A(x_0)$ ou qui contient $A(x_0)$; on la désigne par $A(x)$. Montrer que la relation $A(x) \subset A(y)$ est une relation d’ordre total compatible (exerc. 14) avec la topologie de E.

c) Étendre la conclusion de b) au cas où $C\{x\}$ a deux composantes connexes, sauf pour un point $a \in E$, pour lequel $C\{a\}$ est connexe.

*d) Soit E le sous-espace de $\mathbf{R}^2$ formé des points $a = (0, 1)$, $b = (0, -1)$ et des points $(x, y)$ tels que $x \neq 0, y = \sin(1/x)$. Montrer que pour la topologie $\mathscr{T}$ induite sur E par celle de $\mathbf{R}^2$, E est connexe, que $C\{a\}$ et $C\{b\}$ sont connexes et que pour tout $x$ distinct de $a$ et de $b$, $C\{x\}$ a exactement deux composantes connexes, mais il n’existe pas d’ordre total sur E compatible avec $\mathscr{T}.*$