Bài tập 5, § 2

Cho l là một số > 0, và giả sử rằng với mỗi điểm x ∈ R tương ứng một khoảng mở I(x) có tâm x và độ dài ≤ l. Chứng minh rằng mọi khoảng compact $[a, b]$ có thể được phủ bởi một số hữu hạn các khoảng $I(x_i)$, tổng các độ dài của chúng là $\leq l + 2(b - a)$. (Chứng minh rằng nếu mệnh đề đúng với mỗi khoảng $[a, x]$ sao cho $a \leq x < c$, thì tồn tại $d > c$ sao cho nó đúng với mỗi khoảng $[a, y]$ sao cho $a \leq y < d.$) Nếu $l = (b - a)/n$, trong đó $n$ là một số nguyên $\geq 1$, chứng minh rằng kết quả không thể được cải thiện.