Exercice 5, § 2

Soit $l$ un nombre $> 0$; on suppose qu’à tout point $x \in \mathbf{R}$ corresponde un intervalle ouvert $I(x)$ de milieu $x$, de longueur $\leqslant l$. Montrer que tout intervalle compact $(a, b)$ peut être recouvert par un nombre fini d’intervalles $I(x_i)$, dont la somme des longueurs est $\leqslant l + 2(b - a)$. (On prouvera que si la proposition est vraie pour tout intervalle $(a, x)$ tel que $a \leqslant x < c$, il existe $d > c$ tel qu’elle soit vraie pour tout intervalle $(a, y)$ tel que $a \leqslant y < d$). Si $l = (b - a)/n$, où $n$ est entier $\geqslant 1$, montrer que le résultat ne peut être amélioré.