Bài tập 9, § 2

a) Cho $X$ là một tập hợp đếm được có thứ tự tuyến tính không có khe hở (Bài tập 7). Chứng minh rằng có một ánh xạ song ánh tăng ngặt $\varphi$ của $X$ lên một trong bốn khoảng của $Q$ có các điểm mút 0 và 1. [Sắp xếp các phần tử của $X$ và các điểm của khoảng thích hợp của $Q$ thành các dãy $(a_n), (b_n)$, và định nghĩa $\varphi$ bằng quy nạp.] Nếu $X$ được trang bị tôpô $\mathfrak{T}_0(X)$, thì $\varphi$ là một đồng phôi của $X$ lên $\varphi(X)$.

b) Suy ra từ a) rằng mọi tập con đếm được trù mật của một khoảng mở ]$a, b[$ của $R$ là đồng phôi với $Q$.

c) Suy ra từ a) rằng nếu $X$ là một tập hợp đếm được có thứ tự bất kỳ được trang bị tôpô $\mathfrak{T}_0(X)$, thì tồn tại một đồng phôi tăng ngặt của $X$ lên một không gian con của $Q$ [nhúng $X$ vào một không gian có thứ tự tuyến tính đếm được $X'$ không có khe hở, sao cho $\mathfrak{T}_0(X)$ được cảm sinh bởi $\mathfrak{T}_0(X')$].