Exercice 9, § 2

a) Soit E un ensemble totalement ordonné dénombrable et sans trou (exerc. 7). Montrer qu’il existe une application bijective strictement croissante $\varphi$ de E sur un des quatre intervalles de $\mathbf{Q}$ d’extrémités 0 et 1. (Ranger en suites $(a_n), (b_n)$ les éléments de E et de celui des intervalles de $\mathbf{Q}$ qui convient, et définir $\varphi$ par récurrence.) Si on munit E de la topologie $\mathscr{T}_0(E)$ (I, p. 91, exerc. 5), $\varphi$ est alors un homéomorphisme de E sur $\varphi(E)$.

b) Déduire de a) que toute partie dénombrable d’un intervalle ouvert $]a, b[$ de $\mathbf{R}$, dense dans cet intervalle, est homéomorphe à $\mathbf{Q}$.

c) Déduire de a) que pour tout ensemble ordonné dénombrable E, muni de $\mathscr{T}_0(E)$, il existe un homéomorphisme strictement croissant de E sur un sous-espace de $\mathbf{Q}$ (plonger E dans un espace totalement ordonné dénombrable et sans trou E’ tel que $\mathscr{T}_0(E)$ soit induite par $\mathscr{T}_0(E')$).