Bài tập 10, § 5

Cho $X$ là một không gian tôpô có một cơ sở đếm được $(U_n)$ và cho $f$ là một hàm giá trị thực xác định trên $X$; ta nói $f$ đạt một cực đại tương đối ngặt tại một điểm $a \in X$ nếu có một lân cận $V$ của $a$ sao cho $f(x) < f(a)$ với mỗi $x \in V$ khác với $x = a$. Chứng minh rằng tập hợp $M$ các điểm của $X$, tại đó $f$ đạt một cực đại tương đối ngặt, là đếm được. (Xét tập hợp các $U_n$ sao cho $f$ đạt, tại một điểm nào đó của $U_n$, một cực đại tương đối ngặt bằng cận trên của nó trong $U_n$, và chứng minh rằng có một ánh xạ từ tập hợp này lên $M$).