Exercice 10, § 5

Soient $E$ un espace topologique admettant une base dénombrable $(U_n)$, $f$ une fonction numérique définie dans $E$; on dit que $f$ atteint un maximum relatif strict en un point $a \in E$ s’il existe un voisinage $V$ de $a$ tel que, pour tout $x \in V \cap A$, tel que $x \neq a$, on ait $f(x) < f(a)$. Montrer que l’ensemble $M$ des points de $E$ où $f$ atteint un maximum relatif strict est dénombrable. (Considérer l’ensemble des $U_n$ tels que $f$ atteigne en un point de $U_n$ un maximum relatif strict égal à sa borne supérieure dans $U_n$; montrer qu’il existe une application de cet ensemble sur $M$.)