Bài tập 13, § 5

Cho $(u_n)$ là một dãy các số thực hữu hạn và cho $(\varepsilon_n)$ là một dãy các số $\geq 0$, sao cho $\lim_{n \to \infty} \varepsilon_n = 0$ và $u_{n+1} \geq u_n - \varepsilon_n$ với mọi số nguyên $n \geq 0$. Cho $a = \liminf_{n \to \infty} u_n$ và cho $b = \limsup_{n \to \infty} u_n$; chứng minh rằng tập hợp các điểm tụ của dãy $(u_n)$ là khoảng $[a, b]$.