Exercice 13, § 5

Soient $(u_n)$ une suite de nombres réels finis, $(\varepsilon_n)$ une suite de nombres $\geqslant 0$, telles que $\lim_{n \to \infty} \varepsilon_n = 0$, et que $u_{n+1} \geqslant u_n - \varepsilon_n$ quel que soit l’entier $n \geqslant 0$. On pose $a = \liminf_{n \to \infty} u_n$, $b = \limsup_{n \to \infty} u_n$; montrer que l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite $(u_n)$ est l’interval $[a, b]$.