Bài tập 15, § 5

Cho $(x_n)$ là một dãy các số thực hữu hạn và cho $(p_n)$ là một dãy các số thực hữu hạn $\geq 0$ sao cho $\lim_{n \to \infty} \left( \sum_{i=0}^n p_i \right) = +\infty$. Đặt $y_n = \left( \sum_{i=0}^n p_i x_i \right) / \left( \sum_{i=0}^n p_i \right)$ đối với những giá trị của $n$ sao cho $\sum_{i=1}^n p_i \neq 0$. Chứng minh rằng $\liminf_{n \to \infty} x_n \leq \liminf_{n \to \infty} y_n \leq \limsup_{n \to \infty} y_n \leq \limsup_{n \to \infty} x_n$.

Cho $H$ là một tập con khác rỗng của tập hợp các điểm tụ của dãy $(x_n)$ trong $\overline{\mathbf{R}}$. Chứng minh rằng dãy $(p_n)$ các số thực hữu hạn $\geq 0$ có thể được xác định sao cho $\lim_{n \to \infty} \left( \sum_{i=0}^n p_i \right) = +\infty$ và sao cho tập hợp các điểm tụ của dãy $(y_n)$ tương ứng chứa $H$. [Rút gọn về trường hợp $H$ là đếm được, rồi định nghĩa $(p_n)$ bằng quy nạp, lấy các số hạng của nó bằng 0 hoặc 1].

Suy ra rằng dãy $(x_n)$ hội tụ trong $\overline{\mathbf{R}}$ khi và chỉ khi dãy $(y_n)$ hội tụ trong $\overline{\mathbf{R}}$ đối với mọi dãy $(p_n)$ các số $\geq 0$ sao cho $\lim_{n \to \infty} \left( \sum_{i=0}^n p_i \right) = +\infty$.