Exercice 15, § 5

Soient $(x_n)$ une suite de nombres réels finis, $(p_n)$ une suite de nombres finis $\geqslant 0$ telle que $\lim_{n \to \infty} (\sum_{i=0}^n p_i) = +\infty$. On pose $y_n = (\sum_{i=0}^n p_i x_i)/(\sum_{i=0}^n p_i)$ pour les $n$ tels que $\sum_{i=0}^n p_i \neq 0$. Montrer que

Soit $H$ une partie non vide quelconque de l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite $(x_n)$ dans $\overline{\mathbf{R}}$; montrer qu’on peut déterminer la suite $(p_n)$ de nombres $\geqslant 0$ telle que $\lim_{n \to \infty} (\sum_{i=0}^n p_i) = +\infty$, de sorte que l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite $(y_n)$ correspondante contienne $H$. (Se ramener au cas où $H$ est dénombrable, puis définir $(p_n)$ par récurrence, en prenant ses termes égaux à 0 ou à 1.) En déduire que, pour que la suite $(x_n)$ converge dans $\overline{\mathbf{R}}$, il faut et suffit que, pour toute suite $(p_n)$ de nombres $\geqslant 0$ telle que $\lim_{n \to \infty} (\sum_{i=0}^n p_i) = +\infty$, la suite $(y_n)$ converge dans $\overline{\mathbf{R}}$.