Bài tập 7, § 5

Cho $f$ là một hàm giá trị thực xác định trên một tập con đóng $A$ của $\overline{\mathbf{R}}$. Gọi $\lim \sup_{x \to a, x \geqslant a} f(x)$ [resp. $\lim \sup_{x \to a, x \leqslant a} f(x)$] là giới hạn trên của $f(x)$ khi $x$ tiến tới một điểm $a \in A$ trong khi vẫn thuộc $A \cap [a, +\infty]$ (resp. $A \cap [-\infty, a]$). Chứng minh rằng tập hợp các điểm $a \in A$ sao cho $\limsup_{x \to a, x \geq a} f(x) \neq \limsup_{x \to a, x \leq a} f(x)$ là đếm được. [Chứng minh rằng, với mỗi cặp số hữu tỉ $p, q$ sao cho $p < q$, tập hợp $G_{p,q}$ các điểm $a \in A$ sao cho

là đếm được, bằng cách sử dụng Bài tập 1 của § 2].