Exercice 7, § 5

Soit $f$ une fonction numérique définie dans une partie fermée $A$ de $\overline{\mathbf{R}}$. On désigne par $\limsup_{x \to a, x \geqslant a} f(x)$ (resp. $\limsup_{x \to a, x \leqslant a} f(x)$) la limite supérieure de $f(x)$, lorsque $x$ tend vers un point $a \in A$, en restant dans $A \cap [a, +\infty)$ (resp. $A \cap (-\infty, a]$). Montrer que l’ensemble des points $a \in A$ tels que $\limsup_{x \to a, x \geqslant a} f(x) \neq \limsup_{x \to a, x \leqslant a} f(x)$ est dénombrable. (Prouver que, pour tout couple de nombres rationnels $p, q$ tels que $p < q$, l’ensemble $G_{p,q}$ des points $a \in A$ tels que

est dénombrable, en utilisant l’exerc. 1 de IV, p. 47).