Bài tập 11, § 8

Cho $E$ là một không gian tôpô tách được. Giả sử rằng với mọi dãy hữu hạn $s$ mà các số hạng của nó bằng 0 hoặc bằng 1, tồn tại một tập con khác rỗng $A(s)$ của $E$, thỏa mãn các điều kiện sau: 1° Nếu $s$ là một dãy gồm $n$ số hạng (bằng 0 hoặc 1), $s', s''$ là các dãy gồm $n + 1$ số hạng (bằng 0 hoặc 1) mà $n$ số hạng đầu tiên của chúng bằng các số hạng của $s$, ta có $A(s) = A(s') \cup A(s'')$; hơn nữa, nếu $s_0$ là dãy rỗng, thì $A(s_0) = E$. 2° Với mọi dãy vô hạn $(u_n)_{0 \leq n}$ mà các số hạng của nó bằng 0 hoặc bằng 1, nếu $s_n$ ký hiệu dãy hữu hạn $(u_k)_{0 \leq k \leq n}$, cơ sở lọc được tạo bởi các $A(s_n)$ hội tụ về một điểm của $E$. Bây giờ chứng minh rằng dưới các điều kiện này tồn tại một ánh xạ liên tục toàn ánh từ tập tam phân Cantor $K$ vào $E$.