Exercice 11, § 8

Soit $E$ un espace topologique séparé. On suppose que pour toute suite finie $s$ dont les termes sont égaux à 0 ou à 1, il existe une partie non vide $A(s)$ de $E$, satisfaisant aux conditions suivantes: 1° Si $s$ est une suite de $n$ termes (égaux à 0 ou 1), $s', s''$ les suites de $n + 1$ termes (égaux à 0 ou 1) dont les $n$ premiers termes sont égaux à ceux de $s$, on a $A(s) = A(s') \cup A(s'')$; en outre, si $s_0$ est la suite vide, $A(s_0) = E$. 2° Pour toute suite infinie $(u_n)_{n \geq 0}$ dont les termes sont égaux à 0 ou à 1, si on désigne par $s_n$ la suite finie $(u_k)_{0 \leq k \leq n}$, la base de filtre formée par les $A(s_n)$ converge vers un point de $E$. Montrer que dans ces conditions il existe une application surjective continue de l’ensemble triadique de Cantor $K$ dans $E$.