Bài tập 13, § 8

Cho $E$ là một không gian tôpô đếm được tách. Giả sử rằng với mọi dãy hữu hạn $s$ mà các số hạng của nó bằng 0 hoặc 1, tồn tại một tập con khác rỗng $B(s)$ của $E$, thỏa mãn các điều kiện sau: 1° Nếu $s$ là một dãy hữu hạn gồm $n$ số hạng (bằng 0 hoặc 1), $s', s''$ là các dãy gồm $n + 1$ số hạng (bằng 0 hoặc 1) mà $n$ số hạng đầu tiên của chúng bằng các số hạng của s, thì có B(s') ∪ B(s'') = B(s), B(s') ∩ B(s'') = ∅ ; hơn nữa, nếu s_0 là dãy rỗng, thì B(s_0) = E.

2° Với mọi x ∈ E, nếu s_n ký hiệu dãy (duy nhất) gồm $n$ số hạng bằng 0 hoặc 1 sao cho x ∈ B(s_n), cơ sở lọc tạo bởi các B(s_n) hội tụ đến x trong E.

Bây giờ chứng minh rằng, dưới các điều kiện này, E là đồng phôi với đường hữu tỉ Q. (Trước hết chứng minh rằng E là đồng phôi với một tập con đếm được của tập Cantor ba phân K, trù mật đối với K và không chứa đầu mút nào của một khoảng kề với K. Để làm điều này, chú ý rằng các giả thiết liên hệ với mỗi x ∈ E một dãy vô hạn (u_n(x)) mà các số hạng của nó bằng 0 hoặc 1; sử dụng sự kiện rằng E là đếm được, ta sẽ chứng minh rằng có thể sửa đổi song ánh s ↦ B(s) sao cho với không có x ∈ E nào các u_n(x) tạo thành một dãy dừng. Cuối cùng sử dụng bài tập 10 của IV, p. 48).

Suy ra rằng mọi không gian con đếm được của R không có điểm cô lập đều đồng phôi với Q.