Exercice 13, § 8

Soit $E$ un espace topologique séparé dénombrable. On suppose que pour toute suite finie $s$ dont les termes sont égaux à 0 ou à 1, il existe une partie non vide $B(s)$ de $E$, satisfaisant aux conditions suivantes: 1° Si $s$ est une suite finie de $n$ termes (égaux à 0 ou 1), $s', s''$ les suites de $n + 1$ termes (égaux à 0 ou 1) dont les n premiers termes sont égaux à ceux de s, on a B(s') ∪ B(s'') = B(s), B(s') ∩ B(s'') = ∅ ; en outre, si s_0 est la suite vide, B(s_0) = E.

2° Pour tout x ∈ E, si s_n désigne la suite (unique) de n termes égaux à 0 ou 1 et telle que x ∈ B(s_n), la base de filtre formée par les B(s_n) converge vers x dans E.

Montrer que, dans ces conditions, E est homéomorphe à la droite rationnelle Q. (Établir d’abord que E est homéomorphe à une partie dénombrable de l’ensemble triadique de Cantor K, dense par rapport à K et ne contenant aucune extrémité d’intervalle contigu à K. Pour cela, on remarquera que les hypothèses associent à chaque x ∈ E une suite infinie (u_n(x)) dont les termes sont égaux à 0 ou à 1 ; en utilisant le fait que E est dénombrable, on montrera qu’on peut modifier la bijection s ↦ B(s) de sorte que pour aucun x ∈ E les u_n(x) ne forment une suite stationnaire. Utiliser enfin l’exerc. 10 de IV, p. 48).

En déduire que tout sous-espace dénombrable de R sans point isolé est homéomorphe à Q.