Bài tập 4, § 8

Cho $(u_n)$ là một dãy tổng được của các số > 0 trong $\mathbf{R}$ thỏa mãn các điều kiện sau : $u_{n+1} \leq u_n$ và $u_n \leq \sum_{k=1}^{\infty} u_{n+k}$ với mọi $n \geq 0$. Chứng minh rằng với mọi số $a$ sao cho $0 < a \leq s = \sum_{n=0}^{\infty} u_n$, tồn tại một tập con I của $\mathbf{N}$ sao cho $a = \sum_{n \in I} u_n$. Các điều kiện này được thỏa mãn đặc biệt nếu $u_{n+1} \leq u_n \leq 2u_{n+1}$ với mọi $n$. Xét trường hợp các khai triển nhị phân.