Exercice 4, § 8

Soit $(u_n)$ une suite sommable dans $\mathbf{R}$ de nombres $> 0$, satisfaisant aux conditions suivantes : $u_{n+1} \leq u_n$ et $u_n \leq \sum_{k=1}^\infty u_{n+k}$ pour tout $n \geq 0$. Montrer que pour tout nombre $a$ tel que $0 < a \leq s = \sum_{n=0}^\infty u_n$, il existe une partie $I$ de $\mathbf{N}$ telle que $a = \sum_{n \in I} u_n$. Les conditions précédentes sont en particulier remplies lorsque $u_{n+1} \leq u_n \leq 2u_{n+1}$ pour tout $n$; cas des développements dyadiques.