Bài tập 6, § 8

Với mỗi số thực $x > 1$, tồn tại duy nhất một dãy vô hạn $(t_n)$ các số nguyên $\geq 1$ sao cho $t_{n+1} \geq t_n^2$ với mọi $n \geq 1$ và sao cho $x = \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 + \frac{1}{t_n} \right)$ (dùng Bài tập 19 của § 7). Số $x$ là hữu tỉ khi và chỉ khi $t_{n+1} = t_n^2$ từ một giá trị nào đó của $n$ trở đi. [Để chứng minh rằng điều kiện là cần, chứng minh rằng nếu đặt $x_n = \prod_{k=n+1}^{\infty} \left( 1 + \frac{1}{t_k} \right)$ thì các mẫu của các phân thức $\frac{x_n}{x_n - 1}$ (ở dạng bất khả quy của chúng) tạo thành một dãy giảm].

§ \* 7) Cho $(\varepsilon_n)_{n \geq 0}$ là một dãy các số mà mỗi số trong đó đều là 1 hoặc -1. Chứng minh rằng số thực

được xác định và bằng

Suy ra rằng $\lim_{n \to \infty} x_n$ tồn tại và rằng với mỗi số thực $x$ sao cho $-2 \leq x \leq 2$, tồn tại một dãy $(\varepsilon_n)$ sao cho $x$ bằng giới hạn của dãy tương ứng $(x_n)$. Với những giá trị nào của $x$ thì dãy $(\varepsilon_n)$ là duy nhất? Với những giá trị nào của $x$ thì nó tuần hoàn? (xem Bài tập 3). \*

8) Chứng minh rằng không tồn tại ánh xạ không hằng $\psi$ của một khoảng $I \subset \mathbf{R}$ vào tập hợp $\mathbf{N}^\mathbf{N}$ gồm tất cả các dãy các số tự nhiên có tính chất sau đây đối với mỗi $x \in I$: với mỗi số nguyên $n \geq 0$ tồn tại một lân cận $V$ của $x$ trong $I$ sao cho, với mỗi $y \in V$, $n$ số hạng đầu tiên của dãy $\psi(y)$ giống với $n$ số hạng đầu tiên của dãy $\psi(x)$ (nhận xét rằng điều này sẽ kéo theo tính liên tục của $\psi$, nếu mỗi nhân tử $\mathbf{N}$ mang tôpô rời rạc và $\mathbf{N}^\mathbf{N}$ mang tôpô tích).

9) Chứng minh rằng tập tam phân Cantor $K$ (§ 2, no. 5) là tập hợp tất cả các số thực $x \in [0, 1]$ mà khai triển tam phân của chúng (tương ứng khai triển tam phân không chính tắc nếu $x$ là đầu mút của một khoảng liên thông với $K$)

sao cho $u_n \neq 1$ với mỗi $n$ (do đó $u_n = 0$ hoặc $u_n = 2$). Nếu $v_n = \frac{1}{2} u_n$ với mỗi $n$, và nếu $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} v_n 2^{-n}$, chứng minh rằng $f$ là một ánh xạ liên tục toàn ánh của $K$ lên $[0, 1]$; suy ra rằng $K$ có lực lượng của continuum.

¶ 10) Cho $(d_n)$ là một dãy cơ sở, cho $a_n = d_n / d_{n-1}$ ($n \geq 1$), cho $(n_i)$ là một dãy tăng ngặt các số nguyên, và cho $(b_i)$ là một dãy các số nguyên sao cho $0 < b_i < a_{n_i} - 1$ với mỗi $i$. Cho $G$ là tập hợp tất cả các $x \in [0, 1]$ sao cho, nếu $\sum_{n=1}^{\infty} u_n / d_n$ là khai triển của $x$, hoặc là khai triển không đúng nếu nó tồn tại, thì $u_{n_i} \neq b_i$ với mọi $i \in \mathbf{N}$. Chứng minh rằng $G$ là một tập hợp hoàn hảo không liên thông từng điểm, và rằng nếu $l$ là tổng các độ dài của các khoảng kề với $G$ và được chứa trong $[0, 1]$, thì

¶ 11) Cho $X$ là một không gian tôpô Hausdorff. Giả sử rằng, với mỗi dãy hữu hạn $s$ mà các số hạng của nó bằng 0 hoặc 1, có một tập con khác rỗng $A(s)$ của $X$ thỏa mãn các điều kiện sau: (i) Nếu $s$ là một dãy gồm $n$ số hạng (mỗi số hạng bằng 0 hoặc 1) và $s', s''$ là các dãy gồm $n + 1$ số hạng (mỗi số hạng bằng 0 hoặc 1) mà $n$ số hạng đầu tiên của chúng giống với các số hạng đầu tiên của $s$, thì $A(s) = A(s') \cup A(s'')$; và nếu $s_0$ là dãy rỗng, thì $A(s_0) = X$. (ii) Với mỗi dãy vô hạn $(u_n)_{n \geq 0}$ mà các số hạng của nó bằng 0 hoặc 1, nếu $s_n$ ký hiệu dãy hữu hạn $(u_k)_{0 \leq k \leq n}$, thì cơ sở lọc được tạo bởi các $A(s_n)$ hội tụ tới một điểm của $X$. Chứng minh rằng dưới các điều kiện này tồn tại một ánh xạ liên tục toàn ánh từ tập Cantor tam phân $K$ lên $X$.

¶ 12) Suy ra từ Bài tập 11 rằng: a) Nếu $A$ là một tập con compact của $\mathbf{R}$, thì tồn tại một ánh xạ liên tục từ tập Cantor tam phân $K$ lên $A$ [lấy các $A(s)$ là các giao của $A$ với các khoảng được chọn thích hợp]. b) Nếu thêm $A$ là hoàn hảo và không liên thông từng điểm, thì nó đồng phôi với $K$ [cùng phương pháp, bằng cách sắp xếp sao cho nếu $s_1$ và $s_2$ là hai dãy phân biệt có cùng số các số hạng (bằng 0 hoặc 1) thì

]

¶ 13) Cho $X$ là một không gian Hausdorff đếm được. Giả sử rằng, với mỗi dãy hữu hạn $s$ mà tất cả các số hạng của nó đều là 0 hoặc 1, có một tập con khác rỗng $B(s)$ của $X$ thỏa mãn các điều kiện sau: (i) Nếu $s$ là một dãy hữu hạn gồm $n$ số hạng (bằng 0 hoặc 1) và $s', s''$ là các dãy gồm $n + 1$ số hạng (bằng 0 hoặc 1) mà $n$ số hạng đầu tiên của chúng giống với các số hạng của $s$, thì $B(s') \cup B(s'') = B(s)$ và $B(s') \cap B(s'') = \varnothing$; và nếu $s_0$ là dãy rỗng, $B(s_0) = X$. (ii) Với mỗi $x \in X$, nếu $s_n$ là dãy (duy nhất) gồm $n$ số hạng bằng 0 hoặc 1 sao cho $x \in B(s_n)$, thì cơ sở lọc tạo bởi các $B(s_n)$ hội tụ đến $x$ trong $X$. Chứng minh rằng, dưới các điều kiện này, $E$ đẳng cấu tôpô với đường thẳng hữu tỉ $\mathbf{Q}$. [Trước hết hãy chứng minh rằng $X$ đẳng cấu tôpô với một tập con đếm được của tập ba phân Cantor $K$ trù mật trong $K$ và không chứa điểm đầu mút nào của một khoảng liên thông với $K$. Để làm điều này, nhận xét rằng các giả thiết gắn với mỗi $x \in X$ một dãy vô hạn $(u_n(x))$ mà các số hạng của nó bằng 0 hoặc 1; sử dụng sự kiện $X$ là đếm được, hãy chứng minh rằng song ánh $s \to B(s)$ có thể được sửa đổi sao cho với không có $x \in E$ nào các $u_n(x)$ tạo thành một dãy dừng; cuối cùng sử dụng Bài tập 10 của § 2]. Suy ra rằng mọi không gian con đếm được của $\mathbf{R}$ không có điểm cô lập đều đẳng cấu tôpô với $\mathbf{Q}$.

14) Chứng minh rằng mọi tập con đóng của $\mathbf{R}$ hoặc là đếm được hoặc có lũy thừa của continuum [sử dụng Bài tập 12 b) ở trên và Bài tập 16 của Chương I, § 9].

15) Chứng minh rằng tập hợp các tập con mở của $\mathbf{R}$ và tập hợp các tập con compact, hoàn toàn rời rạc, hoàn hảo của $\mathbf{R}$ có lũy thừa của continuum.

16) a) Cho $A$ là một tập con đóng đếm được của $\mathbf{R}$ và cho $f$ là một hàm thực liên tục xác định trên $\mathbf{R}$. Chứng minh rằng nếu $f$ là hằng trên mỗi khoảng liên thông với $A$, thì $f$ là hằng (sử dụng định lý Bolzano).

b) Nếu $f$ là ánh xạ liên tục của tập ba phân Cantor $K$ lên $[0, 1]$ được xác định trong Bài tập 9, hãy chứng minh rằng $f$ có thể được mở rộng thành một hàm liên tục trên $\mathbf{R}$ là hằng trên mỗi khoảng liên thông với $K$.

17) Cho $X$ là một không gian tôpô có một tập con trù mật đếm được. Chứng minh rằng tập hợp tất cả các hàm liên tục nhận giá trị thực trên $X$ có lũy thừa của continuum.