Exercice 6, § 8

Pour tout nombre réel $x > 1$, il existe une suite infinie $(t_n)$ et une seule, formée d’entiers $\geq 1$, telle que $t_{n+1} \geq t_n^2$ pour tout $n \geq 1$ et que $x = \prod_{n=1}^\infty \left( 1 + \frac{1}{t_n} \right)$ (utiliser l’exerc. 19 de IV, p. 61). Pour que $x$ soit rationnel, il faut et il suffit que $t_{n+1} = t_n^2$ à partir d’un certain rang (pour démontrer la nécessité de la condition, montrer que si on pose $x_n = \prod_{k=n+1}^\infty \left( 1 + \frac{1}{t_k} \right)$, les dénominateurs des fractions $\frac{x_n}{x_n - 1}$ (mises sous forme irréductible) forment une suite décroissante).