Bài tập 7, § 8

Tô pô đại cương, IV, p. 62

Bourbaki marks this one as harder than the rest, it is set in small type as supplementary.

Cho $(\varepsilon_n)_{n \geq 0}$ là một dãy các số bằng $1$ hoặc bằng $-1$ ; bây giờ chứng minh rằng số thực

x_n = \varepsilon_0 \sqrt{2 + \varepsilon_1 \sqrt{2 + \varepsilon_2 \sqrt{2 + \cdots + \varepsilon_n \sqrt{2}}}}

được xác định, và bằng

2 \sin \left( \frac{\pi}{4} \sum_{k=0}^n \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_1 \ldots \varepsilon_k}{2^k} \right).

Suy ra rằng $\lim_{n \to \infty} x_n$ tồn tại và rằng với mọi số thực $x$ sao cho $-2 \leq x \leq 2$ , tồn tại một dãy $(\varepsilon_n)$ sao cho $x$ bằng giới hạn của dãy tương ứng $(x_n)$ ; với những giá trị nào của $x$ thì dãy $(\varepsilon_n)$ là duy nhất? Với những giá trị nào của $x$ thì nó tuần hoàn (xem IV, p. 62, bài tập 3)?*

Lời giải

Chưa có lời giải nào được viết.