Exercice 7, § 8

Topologie générale, IV, p. 62

Bourbaki marks this one as harder than the rest, it is set in small type as supplementary.

Soit $(\varepsilon_n)_{n \geq 0}$ une suite de nombres égaux à $1$ ou à $-1$ ; montrer que le nombre réel

x_n = \varepsilon_0 \sqrt{2 + \varepsilon_1 \sqrt{2 + \varepsilon_2 \sqrt{2 + \cdots + \varepsilon_n \sqrt{2}}}}

est défini, et égal à

2 \sin \left( \frac{\pi}{4} \sum_{k=0}^n \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_1 \ldots \varepsilon_k}{2^k} \right).

En déduire que $\lim_{n \to \infty} x_n$ existe et que pour tout nombre réel $x$ tel que $-2 \leq x \leq 2$ , il existe une suite $(\varepsilon_n)$ telle que $x$ soit égal à la limite de la suite $(x_n)$ correspondante; pour quelles valeurs de $x$ la suite $(\varepsilon_n)$ est-elle unique? Pour quelles valeurs de $x$ est-elle périodique (voir IV, p. 62, exerc. 3)?*

Solution

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