Bài tập 5, § 1

Tôpô cảm sinh bởi $\mathscr{U}$ mịn hơn $\overline{\mathscr{T}}$ khi và chỉ khi, với mỗi $x_0 \in X$ và mỗi lân cận $V$ của $x_0$ trong tôpô $\overline{\mathscr{T}}$, có một chỉ số $i$ và một số thực $s > 0$ sao cho $f_{i, x_0, x'} > s$ với mọi $x \in \mathbf{C}V$.

4) Cho $X$ là một không gian đồng nhất hóa không Hausdorff và cho $R$ là quan hệ "$y \in \{ x \}$" giữa hai điểm $x, y$ của $X$.

a) Chứng minh rằng $R$ là một quan hệ tương đương trên $X$, rằng mọi ánh xạ liên tục từ $X$ vào một không gian Hausdorff đều tương thích với quan hệ $R$ (Lý thuyết tập hợp, R, § 5, no. 7), và rằng không gian thương $X/R$ là hoàn toàn chính quy.

b) Nếu $\mathscr{U}$ là một cấu trúc đồng nhất bất kỳ tương thích với tôpô của $X$, thì cấu trúc đồng nhất Hausdorff liên kết với $\mathscr{U}$ (Chương II, § 3, no. 9) được xác định trên không gian thương $X/R$ và tương thích với tôpô của $X/R$. Không gian tôpô $X/R$ được gọi là không gian hoàn toàn chính quy liên kết với không gian đồng nhất hóa $X$.

5) Cho $X$ là một không gian đồng nhất hóa. Chứng minh rằng họ của tất cả các giả mêtric trên $X$ liên tục trên $X \times X$ xác định một cấu trúc đồng nhất trên $X$ tương thích với tôpô của $X$. Cấu trúc đồng nhất này $\mathscr{U}_0$ được gọi là cấu trúc đồng nhất phổ quát trên $X$; nó là cấu trúc đồng nhất mịn nhất trong tất cả các cấu trúc đồng nhất tương thích với tôpô của $X$. Nếu $Y$ là một không gian đồng nhất bất kỳ và nếu $f : X \to Y$ là một ánh xạ liên tục, thì $f$ là liên tục đều đối với cấu trúc đồng nhất phổ quát trên $X$; điều này không đúng đối với bất kỳ cấu trúc đồng nhất nào khác trên $X$ tương thích với tôpô của nó. Nếu tồn tại một cấu trúc đồng nhất $\mathscr{U}$ trên $X$, tương thích với tôpô của nó và sao cho $X$, được trang bị cấu trúc đồng nhất này, là một không gian đầy đủ, thì $X$ cũng là một không gian đầy đủ đối với mọi cấu trúc đồng nhất $\mathscr{U}'$ mịn hơn $\mathscr{U}$ và thô hơn $\mathscr{U}_0$. (Nhận xét rằng các lọc Cauchy là như nhau đối với $\mathscr{U}'$ và đối với $\mathscr{U}_0$.)