Bài tập 11, § 2

Cho $X$ là một không gian mêtric compact, với mêtric $d$. Chứng minh rằng nếu $f$ là một ánh xạ của $X$ vào $X$ sao cho, với mỗi cặp $x, y$ các điểm của $X$, ta có $d(f(x), f(y)) = d(x, y)$, thì $f$ là một đẳng cự của $X$ lên chính nó. [Cho $a, b$ là hai điểm bất kỳ của $X$, và đặt $f^n = f^{n-1} \circ f$, $a_n = f^n(a)$, $b_n = f^n(b)$; chứng minh rằng, với mỗi $\varepsilon > 0$, tồn tại một chỉ số $k$ sao cho $d(a, a_k) < \varepsilon$ và $d(b, b_k) < \varepsilon$, bằng cách chọn các dãy con thích hợp của $(a_n)$ và $(b_n)$; từ đó chứng minh rằng $d(a_1, b_1), \ldots d(a, b)$ và rằng $f(X)$ là trù mật trong $X$.]