Bài tập 14, § 2

a) Cho $X$ là một không gian tôpô khả tiếp cận (Chương I, § 8, Bài tập 1). Chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương:

$\alpha$ Mọi dãy điểm của $X$ đều có một điểm tụ. $\beta$ Không có không gian con rời rạc vô hạn nào của $X$ là đóng. $\gamma$ Mọi phủ mở đếm được của $X$ đều chứa một phủ mở hữu hạn $X$. $\delta$ Với mọi phủ mở vô hạn $\mathfrak{R}$ của $X$, tồn tại một phủ mở $\mathscr{G} \subset \mathfrak{R}$ của $X$, phân biệt với $\mathfrak{R}$.

Một không gian tôpô $X$ được gọi là compact đếm được nếu nó là Hausdorff và có các tính chất trên.

b) Một dãy điểm trong một không gian compact đếm được là hội tụ khi và chỉ khi nó có một điểm tụ duy nhất.

c) Mọi không gian con đóng của một không gian compact đếm được đều compact đếm được. Ngược lại, nếu $X$ là Hausdorff và nếu mọi điểm của $X$ có một hệ cơ bản đếm được các lân cận, thì mọi không gian con compact đếm được của $X$ đều đóng trong $X$.

d) Cho $f$ là một ánh xạ liên tục từ một không gian compact đếm được $X$ vào một không gian Hausdorff $X'$. Khi đó $f(X)$ là một không gian con compact đếm được của $X'$.

e) Cho $X$ là một không gian compact đếm được, mọi điểm của nó có một hệ cơ bản đếm được các lân cận. Khi đó mọi dãy điểm của $X$ đều có một dãy con hội tụ.

f) Cho $(X_n)$ là một dãy đếm được các không gian tôpô, trong mỗi không gian đó mọi điểm đều có một hệ cơ bản đếm được các lân cận.

Không gian tích $\prod_{n=1}^\infty X_n$ khi đó compact đếm được khi và chỉ khi mỗi không gian $X_n$ là compact đếm được. [Sử dụng e) và Chương I, § 6, Bài tập 16.]

g) Một không gian compact đếm được trong đó mọi điểm có một hệ cơ bản đếm được các lân cận là chính quy.

h) Nếu một không gian compact đếm được có một cơ sở đếm được các tập mở, thì nó là compact và do đó mêtric hóa được.

i) Mọi hàm thực nửa liên tục dưới trên một không gian compact đếm được đều đạt cận dưới lớn nhất của nó. Đặc biệt, mọi không gian compact đếm được đều là giả compact ($\S \ 1,$ Bài tập 21) [xem $\S \ 4,$ Bài tập 26 b)].

j) Chứng minh rằng tính chất $\delta)$ của a) kéo theo điều sau:

$\zeta)$ Mọi phủ mở hữu hạn tại điểm ($\S \ 4,$ no. 3) của $X$ đều chứa một phủ mở hữu hạn của $X$. (Lập luận bằng phản chứng.) Ngược lại, một không gian chính quy thỏa mãn $\zeta)$ là compact đếm được [chứng minh rằng $\zeta)$ khi đó kéo theo $\beta)$].