Exercice 14, § 2

Soit $X = [a, b[$ l’espace localement compact défini dans l’exerc. 12 de I, p. 106.

a) Pour qu’une partie de X soit relativement compacte, il faut et il suffit qu’elle soit bornée. En déduire que X est semi-compact, et par suite (IX, p. 20, prop. 15) non métrisable (remarquer que toute partie dénombrable de X est bornée).

b) Montrer que tout point de X admet un voisinage métrisable (utiliser IX, p. 21, prop. 16).

c) Si A et B sont deux ensembles fermés et non compacts dans X, ils ont une intersection non vide (former une suite croissante dont les termes de rang pair sont des points de A, les termes de rang impair des points de B). En déduire que tout voisinage d’un ensemble fermé non compact est le complémentaire d’un ensemble relativement compact. Si A est l’ensemble des points non isolés de X, montrer que A est fermé et n’est pas intersection d’une famille dénombrable d’ensembles ouverts.

d) On désigne par Y l’intervalle $[a, b]$ muni de la topologie suivante: pour tout $x \in X$, un système fondamental de voisinages est formé des intervalles $]y, x]$, où y parcourt l’ensemble des éléments $< x$; un système fondamental de voisinages de b est formé des ensembles $V_x$, où pour tout $x \in X$, $V_x$ désigne la réunion de b et de l’ensemble des points de $[x, b]$ qui ont un antécédent (autrement dit, qui sont isolés dans X). Montrer que Y est semi-compact, mais non régulier (cf. IX, p. 94, exerc. 13g); dans Y, le sous-espace X est semi-compact, mais non fermé (cf. IX, p. 93, exerc. 13c)).