Bài tập 15, § 2

Cho $X = [a, b[$ là không gian compact địa phương được định nghĩa trong Chương I, § 9, Bài tập 12.

a) Một tập con của $X$ là compact tương đối khi và chỉ khi nó bị chặn. Từ đó hãy chứng minh rằng $X$ là compact đếm được và do đó (Mệnh đề 15) không mêtric hóa được (nhận xét rằng mọi tập con đếm được của $X$ đều bị chặn).

b) Chứng minh rằng mọi điểm của $X$ có một lân cận mêtric hóa được (sử dụng Mệnh đề 16).

c) Nếu $A$ và $B$ là hai tập đóng không compact trong $X$, giao của chúng không rỗng (lập một dãy tăng trong đó các số hạng có chỉ số chẵn là các điểm của $A$ và các số hạng có chỉ số lẻ là các điểm của $B$). Suy ra rằng mọi lân cận của một tập đóng không compact là phần bù của một tập compact tương đối. Nếu $A$ là tập hợp các điểm không cô lập của $X$, chứng minh rằng $A$ là đóng và không là giao của bất kỳ họ đếm được nào các tập mở.

d) Ký hiệu $X'$ là khoảng $[a, b]$ được trang bị tôpô sau: với mỗi $x \in X$ các khoảng $]y, x]$, trong đó $y$ chạy qua tập hợp các phần tử $< x$, tạo thành một hệ cơ sở lân cận của $x$; một hệ cơ sở lân cận của $b$ được tạo thành bởi các tập hợp $V_x$ trong đó, với mỗi $x \in X$, $V_x$ ký hiệu hợp của $\{ b \}$ và tập hợp các điểm của $[x, b]$ có phần tử liền trước (nghĩa là, các điểm cô lập trong $X$). Chứng minh rằng $X'$ là compact đếm được nhưng không chính quy [xem Bài tập 14 g)] và rằng không gian con $X$ của $X'$ là compact đếm được nhưng không đóng [xem Bài tập 14 c)].