Exercice 15, § 2

Soient X et Y deux espaces semi-compacts. Montrer que le produit $X \times Y$ est semi-compact dans chacun des deux cas suivants: 1° un des espaces X, Y est compact; 2° un des espaces X, Y est tel que tout point admette un système fondamental dénombrable de voisinages. (Pour le premier cas, en supposant par exemple Y compact, considérer une suite croissante $(G_n)$ d’ensembles ouverts dont la réunion est $X \times Y$, et pour tout n, l’ensemble $H_n$ des $x \in X$ tels que $\{x\} \times Y \subset G_n$; montrer que $H_n$ est ouvert et que $X = \bigcup_n H_n$.)