Bài tập 17, § 2

Cho $\beta \mathbf{N}$ là compact hóa Stone-Čech của không gian rời rạc $\mathbf{N}$ ($\S$ 1, Bài tập 7).

a) Chứng minh rằng tồn tại hai không gian con compact đếm được $A, B$ của $\beta \mathbf{N}$ sao cho $A \cap B = \mathbf{N}$ và $A \cup B = \beta \mathbf{N}$. [Đặt $\aleph_\alpha = 2^{2^{\text{Card}(\mathbf{N})}}$; theo $\S$ 1, Bài tập 12 b), có một song ánh $\xi \to S_\xi$ từ thứ tự $\omega_\alpha$ (Set Theory, Chương III, $\S$ 6, Bài tập 10) lên tập hợp các tập con vô hạn đếm được của $X$. Bằng quy nạp siêu hạn, định nghĩa hai ánh xạ đơn ánh $\xi \to x_\xi, \xi \to y_\xi$ từ $\omega_\alpha$ vào $\beta \mathbf{N} - \mathbf{N}$ sao cho $x_\xi \in \overline{S}_\xi, y_\xi \in \overline{S}_\xi$ với mỗi $\xi$, và sao cho nếu $P$ (tương ứng $Q$) là tập hợp các $x_\xi$ (tương ứng $y_\xi$) thì ta có $P \cap Q = \varnothing, P \cup Q = \beta \mathbf{N} - \mathbf{N}$; để làm điều này, hãy sử dụng $\S$ 1, Bài tập 12 b) và c). Sau đó chứng minh rằng $A = P \cup \mathbf{N}$ và $B = Q \cup \mathbf{N}$ thỏa mãn các điều kiện của bài toán.]

b) Chứng minh rằng không gian tích $A \times B$ không compact đếm được (chú ý rằng giao của $A \times B$ với đường chéo của $\beta \mathbf{N} \times \beta \mathbf{N}$ là một không gian con đóng rời rạc vô hạn của $A \times B$).