Exercice 17, § 2

Soit X un espace métrique tel que, pour tout $x \in X$, il existe une boule ouverte de centre $x$ qui, considérée comme sous-espace de X, admette une base dénombrable; soit $r_x$ la borne supérieure des rayons des boules de centre $x$ qui possèdent cette propriété.

a) Montrer (à l’aide du th. de Zorn) qu’il existe une famille maximale $(B_\alpha)$ de boules ouvertes de X, deux à deux sans point commun, telles que, si $x_\alpha$ est le centre de $B_\alpha$, le rayon de $B_\alpha$ soit $< r_{x_\alpha}$. Montrer que la réunion des $B_\alpha$ est partout dense dans X; en déduire qu’il existe une partie partout dense M de X telle que toute boule ouverte de centre un point quelconque $x \in X$ et de rayon $< r_x$ ne contienne qu’une infinité dénombrable de points de M (remarquer qu’une telle boule ne peut rencontrer qu’une infinité dénombrable d’ensembles ouverts deux à deux sans point commun, et utiliser IX, p. 18, prop. 12).

b) Pour tout point $x \in M$, on désigne par $S_x$ la boule ouverte de centre $x$ et de rayon $\frac{1}{3} r_x$; montrer que les $S_x$ constituent un recouvrement de X, et qu’un point quelconque de X ne peut appartenir qu’à une infinité dénombrable de $S_x$: remarquer que, si $y \in S_x$, on a

c) On définit dans X la relation d’équivalence R suivante entre deux points $x, y$: il existe une suite $(z_i)_{1 \leq i \leq n}$ de points de M, telle que $x \in S_{z_1}, y \in S_{z_n}$, et que l’intersection de $S_{z_i}$ et $S_{z_{i+1}}$ ne soit pas vide pour $1 \leq i \leq n - 1$. Montrer que les classes d’équivalence suivant R sont des sous-espaces à la fois ouverts et fermés de X, dont chacun admet une base dénombrable; en d’autres termes, X est somme topologique d’espaces métriques admettant une base dénombrable (I, p. 15). En particulier, tout espace localement compact métrisable est somme topologique d’espaces localement compacts métrisables et de type dénombrable.