Bài tập 18, § 2

Cho $X$ là một không gian mêtric sao cho, với mỗi $x \in X$, tồn tại một quả cầu mở có tâm $x$ mà, khi được xét như một không gian con của $X$, có một cơ sở đếm được. Gọi $r_x$ là cận trên nhỏ nhất của các bán kính của những quả cầu có tâm $x$ có tính chất này.

a) Chứng minh, sử dụng bổ đề Zorn, rằng tồn tại một họ cực đại $(B_\alpha)$ các quả cầu mở trong $X$ rời nhau từng đôi một và sao cho, nếu $x_\alpha$ là tâm của $B_\alpha$, bán kính của $B_\alpha$ là $< r_{x_\alpha}$. Chứng minh rằng hợp của các $B_x$ là trù mật trong $X$, và do đó tồn tại một tập con trù mật $M$ của $X$ sao cho mọi quả cầu mở có tâm tại một điểm tùy ý $x \in X$ và bán kính $< r_x$ chỉ chứa một số lượng đếm được vô hạn các điểm của $M$ (chú ý rằng một quả cầu như vậy chỉ có thể gặp một số lượng đếm được vô hạn các tập mở rời nhau từng đôi một, và sử dụng Mệnh đề 12).

b) Với mỗi điểm $x \in M$, ký hiệu $S_x$ là quả cầu mở có tâm $x$ và bán kính $\frac{1}{3} r_x$. Chứng minh rằng các $S_x$ phủ $X$, và một điểm tùy ý của $X$ chỉ thuộc một số lượng đếm được vô hạn các $S_x$ [chú ý rằng nếu $y \in S_x$, ta có $d(x, y) \leq \frac{1}{2} r_y$].

c) Gọi $R$ là quan hệ tương đương sau đây giữa các điểm $x, y$ của $X$: tồn tại một dãy $(z_i)_{1 \leq i \leq n}$ các điểm của $M$ sao cho $x \in S_{z_1}$, $y \in S_{z_n}$ và $S_{z_i}$ giao với $S_{z_{i+1}}$ với $1 \leq i \leq n - 1$. Chứng minh rằng các lớp tương đương (theo $R$) là các không gian con của $X$ vừa mở vừa đóng trong $X$ và có một cơ sở đếm được; nói cách khác, $X$ là tổng tôpô của các không gian mêtric có các cơ sở đếm được (Chương I, § 2, no. 4).