Exercice 18, § 2

Dans un espace métrique, tout ensemble relativement compact est borné. Montrer que, pour qu’un espace métrisable X soit tel qu’il existe une distance compatible avec la topologie de X, pour laquelle tout ensemble borné soit relativement compact, il faut et il suffit que X soit localement compact et admette une base dénombrable (pour voir que la condition est nécessaire, montrer que si tout ensemble borné est relativement compact, X est localement compact et dénombrable à l’infini; pour voir que la condition est suffisante, remarquer que X est métrisable en vertu de IX, p. 19, corollaire; si $d$ est une distance compatible avec la topologie de X, $f$ la fonction définie dans l’exerc. 12 d) de IX, p. 86, prendre sur X la structure uniforme définie par les deux écarts $d(x, y)$ et $|f(x) - f(y)|$).