Bài tập 20, § 2

a) Hãy cho một ví dụ về một quan hệ tương đương đóng $R$ trên một không gian địa phương compact mêtric hóa được $X$ có một cơ sở đếm được sao cho $X/R$ là paracompact nhưng tồn tại một điểm của $X/R$ không có một hệ cơ bản đếm được của các lân cận [xem Chương I, § 10, Bài tập 17 và Chương IX, § 4, Bài tập 24 a)].

b) Cho $X$ là một không gian mêtric hóa được và cho $R$ là một quan hệ tương đương đóng trên $X$. Hãy chỉ ra rằng nếu mọi điểm của $X/R$ có một hệ cơ bản đếm được của các lân cận, thì mỗi lớp tương đương (mod $R$) có một biên compact trong $X$. (Hãy chỉ ra rằng nếu kết quả là sai thì sẽ tồn tại một dãy trong $X$, mọi điểm của dãy đều phân biệt, không có điểm tụ, và ảnh của nó trong $X/R$ là một dãy hội tụ đến một điểm phân biệt với mọi điểm của dãy.) Với mỗi $z \in X/R$, gọi $C_z$ là ảnh ngược của $z$ trong $X$, và gọi $F_z$ là biên của $C_z$ nếu biên này không rỗng; nếu $C_z$ vừa mở vừa đóng, gọi $F_z$ là bất kỳ tập con nào của $C_z$ gồm một điểm duy nhất. Gọi $Y$ là hợp của các tập $F_z$ khi $z$ chạy qua $X/R$. Hãy chỉ ra rằng $Y/R_y$ là đồng phôi với $X/R$.