Bài tập 21, § 2

a) Cho $X$ là một không gian mêtric hóa được, cho $d$ là một mêtric bị chặn tương thích với tôpô của $X$, cho $\sigma$ là mêtric tương ứng với $d$ trên tập hợp $\tilde{\mathfrak{F}}(X)$ các tập con đóng không rỗng của $X$ (Bài tập 6); và cho $R$ là một quan hệ tương đương mở và đóng trên $X$. Chứng minh rằng hạn chế của $\sigma$ vào $X/R$ là một mêtric tương thích với tôpô thương. [Dùng Bài tập 20 b) để chứng minh rằng mỗi lớp mod $R$ là mở và compact. Sau đó chứng minh rằng nếu một dãy $(z_n)$ trong $X/R$ hội tụ tới một điểm $a$ và nếu $\varphi : X \to X/R$ là ánh xạ chính tắc, thì ta có $\sigma(\overline{\varphi^{-1}(a)}, \overline{\varphi^{-1}(z_n)}) \to 0$; lập luận bằng phản chứng, sử dụng sự kiện rằng $R$ là mở.]

b) Trên khoảng compact $I = [0, 1]$ của $\mathbf{R}$, cho $R$ là quan hệ tương đương mà các lớp của nó là các điểm của tập Cantor $K$ (Chương VI, § 2, no. 5), khác với các đầu mút của các khoảng kề với $K$, và các bao đóng của các khoảng kề với $K$. Chứng minh rằng không gian thương $I/R$ là đồng phôi với $I$ [Chương IV, § 8, Bài tập 16 b)] nhưng mêtric $\sigma$ không tương thích với tôpô của $I/R$.