Exercice 21, § 2

Soient X un espace localement compact, métrisable et de type dénombrable, C un espace compact métrisable et connexe, qu’on suppose plongé dans $\mathbf{I}^\mathbf{N}$ (IX, p. 18, prop. 12).

a) Si $d$ est une distance définissant la topologie de C, montrer qu’il existe dans C une suite partout dense infinie $(b_n)$ telle que $d(b_n, b_{n+1})$ tende vers 0 avec $1/n$ (II, p. 32, prop. 5).

b) Soient X' le compactifié d’Alexandroff de X (I, p. 67, th. 4), ω son point à l’infini, d’ une distance définissant la topologie de X’ (IX, p. 21, corollaire). Soit (x_n) une suite de points de X tendant vers ω dans X’ et telle que d’(ω, x_n) < d’(ω, x_{n-1}) et d’(ω, x_n) < 1/n. On définit une application f de X dans I^N en posant f(x) = b_1 si d’(ω, x) > d’(ω, x_1) et

si d’(ω, x) = td’(ω, x_k) + (1 - t)d’(ω, x_{k+1}) avec 0 ≤ t ≤ 1. Montrer que f est continue dans X.

c) Soit G le graphe de f dans X × I^N, qui est homéomorphe à X. Montrer que l’adhérence Y = \overline{G} de G dans X’ × I^N est un espace compact, réunion des ensembles disjoints G et {ω} × C.

d) On suppose X connexe et localement connexe. Montrer qu’afin que, pour tout espace compact métrisable Z contenant un sous-espace ouvert partout dense X_1 homéomorphe à X, Z − X_1 soit connexe, il faut et il suffit que X n’ait qu’un seul bout (I, p. 117, exerc. 19).