Bài tập 23, § 2

Một không gian tôpô được gọi là dưới mêtric hóa được nếu tôpô của nó mịn hơn tôpô của một không gian mêtric hóa được. Một không gian dưới mêtric hóa được là Hausdorff nhưng không nhất thiết chính quy (Chương I, § 8, Bài tập 20).

(a) Một không gian hoàn toàn chính quy $X$ là mêtric hóa được con khi và chỉ khi tồn tại một cấu trúc đều trên $X$, tương thích với tôpô của $X$ và được xác định bởi một họ $\Phi$ các giả mêtric chứa ít nhất một mêtric $d$ (xem § 1, Bài tập 3). Gọi $\hat{X}$ là sự hoàn thành của $X$ đối với cấu trúc đều này; mêtric $d$ mở rộng thành một giả mêtric $\bar{d}$ trên $\hat{X}$; hãy chứng minh rằng với mỗi $x \in \hat{X}$ có nhiều nhất một điểm $y \in X$ sao cho $\bar{d}(x, y) = 0$.

(b) Hãy chứng minh rằng nếu $X$ là một không gian hoàn toàn chính quy mêtric hóa được con, thì tồn tại một cấu trúc đều, tương thích với tôpô của $X$, và đối với cấu trúc đó $X$ là đầy đủ [dùng $a$ và $§ 1$, Bài tập 16 c)]. Từ đó hãy chứng minh rằng nếu ngoài ra $X$ là giả compact ($§ 1$, Bài tập 21), thì $X$ là compact.

(c) Hãy chứng minh rằng một không gian $X$ địa phương compact, paracompact, mêtric hóa được con là mêtric hóa được (rút gọn về trường hợp $X$ là $\sigma$-compact bằng cách dùng Chương I, $§ 9$, no. 10, Định lý 5; rồi dùng Hệ quả của Mệnh đề 16) [xem $§ 5$, Bài tập 15].