Exercice 23, § 2

a) Donner un exemple de relation d’équivalence fermée R dans un espace localement compact X métrisable et ayant une base dénombrable, telle que X/R soit paracompact, mais qu’il existe un point de X/R n’ayant pas de système fondamental dénombrable de voisinages (cf. I, p. 113, exerc. 17) (cf. IX, p. 110, exerc. 34 a)).

b) Soient X un espace métrisable, R une relation d’équivalence fermée dans X. Montrer que si tout point de X/R admet un système fondamental dénombrable de voisinages, la frontière dans X de toute classe d’équivalence suivant R est compacte (raisonner par l’absurde, en montrant que dans le cas contraire il existerait dans X une suite sans valeur d’adhérence, formée de points distincts, et dont l’image dans X/R serait une suite convergente vers un point distinct de tous les termes de cette suite). Pour tout z ∈ X/R, soit C_z l’image réciproque de z dans X, et soit F_z la frontière de C_z si cette frontière n’est pas vide, et une partie de C_z réduite à un point si C_z est à la fois ouvert et fermé. Soit F le sous-espace de X réunion des F_z pour z ∈ X/R ; montrer que F/R_F est homéomorphe à X/R.