Bài tập 3, § 2

a) Cho $X$ là một không gian mêtric compact. Nếu bao đóng trong $X$ của mọi quả cầu mở là quả cầu đóng có cùng tâm và bán kính, thì mọi quả cầu trong $X$ là một tập hợp liên thông [nếu $x$ và $y$ là hai điểm của $X$, và nếu $S$ là quả cầu đóng có tâm $x$ và bán kính $d(x, y)$, hãy chứng minh rằng với mỗi $\varepsilon > 0$ tập hợp $A_{y, \varepsilon}$ gồm các điểm của $S$ có thể được nối với $y$ bằng một $V_\varepsilon$-chuỗi chứa trong $S$ (Chương II, § 4, no. 4) chứa các điểm $z$ sao cho $d(x, z) < d(x, y)$]. Suy ra rằng $x \in A_{y, \varepsilon}$ với mọi $\varepsilon > 0$, bằng cách lập luận phản chứng và sử dụng định lý Weierstrass (Chương IV, § 6, no. 1, Định lý 1).

b) Trong không gian $Y = \mathbf{R}^2$ với mêtric

cho $X$ là không gian con compact gồm tất cả các điểm $(x_1, x_2)$ sao cho hoặc $x_1 = 0$ và $0 \leq x_2 \leq 1$, hoặc $0 \leq x_1 \leq 1$ và $x_2 = 0$. Chứng minh rằng mọi quả cầu trong $X$ là liên thông nhưng bao đóng của một quả cầu mở không nhất thiết là quả cầu đóng có cùng tâm và bán kính.