Exercice 3, § 2

Soit $X$ un espace métrique compact; si, dans $X$, l’adhérence de toute boule ouverte est la boule fermée de même centre et de même rayon, toute boule dans $X$ est un ensemble connexe (si $x, y$ sont deux points de $X$, $B$ la boule fermée de centre $x$ et de rayon $d(x, y)$, montrer que pour tout $\varepsilon > 0$, l’ensemble $A_{y, \varepsilon}$ des points de $B$ pouvant être joints à $y$ par une $V_\varepsilon$-chaîne contenue dans $B$ (II, p. 31) contient des points $z$ tels que $d(x, z) < d(x, y)$. En déduire que $x \in A_{y, \varepsilon}$ pour tout $\varepsilon > 0$, en raisonnant par l’absurde et utilisant le th. de Weierstrass (IV, p. 27, th. 1)).

b) Dans l’espace $Y = \mathbf{R}^2$ muni de la distance

soit $X$ le sous-espace formé des points $(x_1, x_2)$ tels que $x_1 = 0,\ 0 \leq x_2 \leq 1$, ou $x_2 = 0,\ 0 \leq x_1 \leq 1$. Montrer que dans $X$ toute boule est connexe mais que l’adhérence d’une boule ouverte n’est pas nécessairement la boule fermée de même centre et de même rayon.